Daria sinh ngày 7 tháng 5 năm 1997 ở Tolyatti, Samara Oblast có bố là Sergey Igorevich Kasatkin và mẹ là Tatyana Borisovna (nhũ danh Timkovskaya). Tolyatti là một thành phố công nghiệp nằm cách thủ đô Moskva 1.000 kilômét (620 dặm) về phía đông nam. Bố cô làm kỹ sư tại Nhà máy ô tô Volga, còn mẹ cô là một luật sư.[2][3][4] Cả bố mẹ cô đều là vận động viên xếp hạng ở Nga (còn được biết đến là Candidates for Master of Sports); mẹ cô là vận động viên điền kinh, và bố cô là vận động viên khúc côn cầu trên băng.[5] Kasatkina cũng có một người anh trai tên là Alexandr. Anh trai cô đã chơi quần vợt một cách tình cờ, và thuyết phục bố mẹ cô cho cô cũng bắt đầu chơi môn thể thao này khi cô sáu tuổi. Cô lúc đầu chơi hai đến ba lần một tuần trong hai năm. Trong thời gian, cô bắt đầu cạnh tranh trong các giải đấu cấp cao hơn.[6]